题目

题型：不详难度：来源：

如图，在长方体中，，，是线段的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

答案

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

解析

试题分析：1.本题的模型是长方体，因此采用坐标法不失为一个好的选择.2.本题也可以采用几何法的方式进行求解.（Ⅰ）如图，连接，交于，可以证明四边形是平行四边形，从而，进而可以证明平面.（Ⅱ）过作于，因为底面是正方形，可以证明平面，从而即为所求角.接下来解之即可.第（Ⅱ）问也可以用等积的办法来求解．

试题解析：（Ⅰ）证明：在长方体中，
∵，，∴.

建立如图所示的空间直角坐标系，设的中点为，连接，根据题意得，，，，，，线段的中点为，线段的中点为.
∴，  .∴.
∵平面，平面，∴.
∴平面.
（Ⅱ）解：，，，
设平面的一个法向量为，根据已知得
 取，得
∴是平面的一个法向量.
∴.
∴直线与平面所成角的正弦值等于.