题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知多面体的底面是边长为的正方形，底面，，且．
（Ⅰ）求多面体的体积；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．

答案

（Ⅰ）（Ⅰ）．
（Ⅱ）设直线与平面所成角为，  
（Ⅲ）利用三角形中位线定理，取线段DC的中点，连接即为所求．

解析

试题分析：（Ⅰ）（Ⅰ）连接ED，利用“分割法”计算得．
（Ⅱ）以点A为原点，AB所在的直线为轴，AD所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．确定得到A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),及.
利用　　确定平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为， 
（Ⅲ）取线段DC的中点；连接，则直线即为所求．
试题解析：（Ⅰ）如图，连接ED，
∵底面且，∴底面,
∴,
∵,
∴面,                     1分
∴,         2分
  ,              3分
∴多面体的体积
．              5分
（Ⅱ）以点A为原点，AB所在的直线为轴，AD所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),

所以       7分
设平面ECF的法向量为，
则　　　得：
取y=1,得平面的一个法向量为         9分
设直线与平面所成角为，
所以    11分  
（Ⅲ）取线段CD的中点；连接，直线即为所求．                12分
图上有正确的作图痕迹            13分