题目

题型：不详难度：来源：

如图,几何体EABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.

(1)求证:BE=DE;
(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.

答案

（1）见解析  （2）见解析

解析

证明:(1)如图所示,取BD的中点O,连接CO,EO.

由于CB=CD,
所以CO⊥BD.
又EC⊥BD,EC∩CO=C,
CO,EC⊂平面EOC,
所以BD⊥平面EOC,
因此BD⊥EO.
又O为BD的中点,
所以BE=DE.
(2)法一　如图所示,取AB的中点N,连接DM,DN,MN.

因为M是AE的中点,
所以MN∥BE.
又MN平面BEC,
BE⊂平面BEC,
所以MN∥平面BEC.
又因为△ABD为正三角形,
所以∠BDN=30°.
又CB=CD,∠BCD=120°,
因此∠CBD=30°.
所以DN∥BC.
又DN平面BEC,BC⊂平面BEC,
所以DN∥平面BEC.
又MN∩DN=N,
所以平面DMN∥平面BEC.
又DM⊂平面DMN,
所以DM∥平面BEC.
法二　如图所示,延长AD,BC交于点F,连接EF.

因为CB=CD,∠BCD=120°,
所以∠CBD=30°.
因为△ABD为正三角形,
所以∠BAD=60°,
∠ABC=90°,
因此∠AFB=30°,
所以AB=AF.
又AB=AD,
所以D为线段AF的中点,
连接DM,由点M是线段AE的中点,
得DM∥EF.
又DM平面BEC,EF⊂平面BEC,
所以DM∥平面BEC.