题目

题型：0108 模拟题难度：来源：

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥DB，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=，PB⊥PD。
（1）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
（2）求二面角P-AB-C的大小；
（3）设点M在棱PC上，且=λ，问λ为何值时，PC⊥平面BMD。

答案

解：∵PO⊥平面ABCD，
∴PO⊥BD
又PB⊥PD，BO=2，PO=，
∴OD=OC=1，BO=AO=2，
以O为原点，OA、OB、OP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点坐标为O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，）。
（1）∵，
∴
∴
故直线PD与BC所成角的余弦值为。
（2）设平面PAB的一个法向量为n=（x，y，z）
由于
得
令x=1，则y=1，z=
∴n=（1，1，）
又易知平面ABCD的一个法向量m=（0，0，1），
∴cos〈m，n〉=
又二面角P-AB-C是锐角，
∴所求二面角P-AB-C的大小为45°。
（3）设M（x₀，0，z₀），由于P、M、C三点共线，
∴ ①
∵PC⊥平面BMD，
∴OM⊥PC
∴（-1，0，-）·（x₀，0，z₀）=0
∴ ②
由①②知
∴
∴=2
故λ=2时，PC⊥平面BMD。