在三棱锥M-ABC中，CM⊥平面ABC，MA=MB，NA=NB=NC．（Ⅰ）求证：AM⊥BC；（Ⅱ）若∠AMB=60°，求直线AM与CN所成的角． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：青岛一模难度：来源：

在三棱锥M-ABC中，CM⊥平面ABC，MA=MB，NA=NB=NC．
（Ⅰ）求证：AM⊥BC；
（Ⅱ）若∠AMB=60°，求直线AM与CN所成的角．魔方格

答案

证明：（I）∵NA=NB=NC，
∴N是△ABC外接圆的圆心，可得∠ACB=90°，即BC⊥AC…（2分）
∵CM⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴MC⊥BC…（4分）
∴BC⊥面MAC
∴BC⊥MA…（6分）
（II）取MB的中点P，连结CP，NP，
则NP∥AM，所以∠PNC是直线AM与CN所成的角，…（8分）
令AN=NB=NC=1，
∴AM=2，NP=1，CP=

MB=1
在△CPN中，CP=NP=CN=1…（10分）
∴∠PNC=60°…（12分）

核心考点

试题【在三棱锥M-ABC中，CM⊥平面ABC，MA=MB，NA=NB=NC．（Ⅰ）求证：AM⊥BC；（Ⅱ）若∠AMB=60°，求直线AM与CN所成的角．】；主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，长度为2的线段AB夹在直二面角α-l-β的两个半平面内，A∈α，B∈β，
且AB与平面α、β所成的角都是30°，AC⊥l，垂足为C，BD⊥l，垂足为D．
（Ⅰ）求直线AB与CD所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值．魔方格