题目
题型:不详难度:来源:
SD垂直于底面ABCD,SB=.
(I)求证BCSC;
(II)求面ASD与面BSC所成二面角的大小;
(III)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成角的大小.
答案
解析
(I)证法一:如图1,∵底面ABCD是正方形, ∴BC⊥DC.
∵SD⊥底面ABCD,∴DC是SC在平面ABCD上的射影,
由三垂线定理得BC⊥SC.…………3分
证法二:如图1,∵底面ABCD是正方形, ∴BC⊥DC.
∵SD⊥底面ABCD,∴SD⊥BC,又DC∩SD=D, 图1
∴BC⊥平面SDC,∴BC⊥SC.…………3分
(II)解法一:∵SD⊥底面ABCD,且ABCD为正方形,
∴可把四棱锥S—ABCD补形为长方体A1B1C1S—ABCD,
如图2,面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角,
∵SC⊥BC,BC//A1S,∴SC⊥A1S,
又SD⊥A1S,∴∠CSD为所求二面角的平面角.
在Rt△SCB中,由勾股定理得SC=,在Rt△SDC中,
由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD与面BSC所成的二面角为45°.……………8分
解法二:如图3,过点S作直线在面ASD上,
∵底面ABCD为正方形,在面BSC上,
为面ASD与面BSC的交线.
∴∠CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角.
在Rt△SCB中,由勾股定理得SC=,在Rt△SDC中,
由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD与面BSC所成的二面角
为45°。…8分
(III)解法一:如图3,∵SD=AD=1,∠SDA=90°,∴△SDA是等腰直角三角形.
又M是斜边SA的中点, ∴DM⊥SA.
∵BA⊥AD,BA⊥SD,AD∩SD=D,∴BA⊥面ASD,SA是SB在面ASD上的射影.
由三垂线定理得DM⊥SB. ∴异面直线DM与SB所成的角为90°. ……………14分
解法二:如图4,取AB中点P,连结MP,DP.
在△ABS中,由中位线定理得 MP//SB,是异面直线DM与SB所成的角.
,
又
∴在△DMP中,有DP2=MP2+DM2,
即异面直线DM与SB所成的角为90°. ……………14分
[方法二]:(向量法)
解析:如图所示,以D为坐标原点建立直角坐标系,
则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),
M(,0,),
∵ SB=,DB=,SD=1,∴ S(0,0,1),……………2分
(I)证明:∵ ,
="0 " ∴ ,即BCSC.……………5分
(II)设二面角的平面角为θ,由题意可知平面ASD的一个法向量为,设平面BSC的法向量为,由,
得,
∴ 面ASD与面BSC所成的二面角为45°.……………10分
(III)设异面直线DM与SB所成角为α,
∵ ,SB=(-1,-1,1),得
∴ 异面直线DM与SB所成角为90°.……………14分
核心考点
试题【如图,四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形,SD垂直于底面ABCD,SB=.(I)求证BCSC;(II)求面ASD与面BSC所成二面角的大小;(III)设】;主要考察你对线线角等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.(π,π) | B.(π,π) |
C.(0,) | D.(π,π) |
A. | B. | C. | D. |
(Ⅰ)求DH与所成角的大小;
(Ⅱ)求DH与平面所成角的大小.
(I)若D为BC的中点,E为AD上不同于A、D的任意一点,证明EF⊥FC1;
(II)试问:若AB=2a,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角,为什么?证明你的结论
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