题目

题型：不详难度：来源：

（本题14分）如图：在二面角中，Ａ、Ｂ，Ｃ、Ｄ，ＡＢＣＤ为矩形，且ＰＡ＝ＡＤ，Ｍ、Ｎ依次是ＡＢ、ＰＣ的中点，

（１）求二面角的大小（６分）
（２）求证：（６分）
（１） 求异面直线ＰＡ和ＭＮ所成角的大小（７分）

答案

（1）二面角的平面角为45⁰。（2）异面直线ＰＡ和ＭＮ所成的角为45⁰

解析

解：（1）连结PD∵ABCD为矩形∴AD⊥DC, 即
又PA⊥,∴PD⊥,
∴PAD为二面角的平面角，又∵PA⊥AD，PA=AD
∴PAD是等腰直角三角形，∴PDA=45⁰，即二面角的平面角为45⁰。
（2）证明：过M作ME∥AD，交CD于E，连结NE，则ME⊥CD，
NE⊥CD，∴CD⊥平面MNE， MN⊥CD，又∵AB∥CD，MN⊥AB。
（3）解：过N作NF∥CD，交PD于F，∵ N是PC的中点
∴F是PD的中 点，连结AF，可以证明四边形AMNF是平行四边形
∴AF∥MN，PAF是异面直线ＰＡ和ＭＮ所成的角，∵ PA=PD， ∴F是PD的中点，∴AF是PAD的平分线，∵ PAD=90⁰ ∴PAF=45⁰，∴异面直线ＰＡ和ＭＮ所成的角为45⁰。