题目

题型：山东省模拟题难度：来源：

三棱锥P-ABC中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2AB=2，
（1） 求证：面PBC⊥面ABC；
（2） 求二面角B-AP-C的余弦值．

答案

（1）证明：取BC中点O，连接AO，PO，
由已知△BAC为直角三角形，所以可得OA=OB=OC，
又知PA=PB=PC，则△POA≌△POB≌△POC，
∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，
∴PO⊥OB，PO⊥OA，OB∩OA=O，
所以PO⊥面BCD，
又PO面ABC，
∴面PBC⊥面ABC。（2）解：过O作OD与BC垂直，交AC于D点，
如图建立坐标系O-xyz，
则
，
设面PAB的法向量为n₁=(x，y，z)，
由n₁· =0，n₁·=0，可知n₁=(1，-，1)；
同理可求得面PAC的法向量为n₂=(3，，1)，
∴cos(n₁，n₂)=。