题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线的解析式;
(2)若动点P从点A出发,以每秒2个单位沿射线AC方向运动;同时,点Q从点B出发,以每秒1个单位沿射线BA方向运动,当点P到达点C处时,两点同时停止运动.问当t为何值时,△APQ∽△AOB?
(3)若M为线段AB上一个动点,过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N.
①是否存在这样的点M,使得四边形OMNB恰为平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
②当点M运动到何处时,四边形CBNA的面积最大?求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值.
答案
解析
试题分析:(1)应用待定系数法,设交点式求解;
(2)根据相似三角形的性质求解即可;
(3)①由MN=OB=12列式,根据一元二次方程根的判别式小于0得出不存在这样的点M,使得四边形OMNB恰为平行四边形结论;②求出面积关于x的二次函数关系式,应用二次函数最值原理求解即可.
试题解析:(1)因抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0),故设抛物线解析式为:.
又∵B(0,-12) ∴ ,解得a=。
∴抛物线的解析式为.
(2)∵OA=9,OB=12,∴AB=15.
∵点P的速度是每秒2个单位,点Q的速度是每秒1个单位,∴AP=2t,AQ=15-t.
又∵AC=12,∴0≤t≤6.
∵△APQ∽△AOB,∴,即,解得.
∴当时,△APQ∽△AOB.
(3)易求直线AB的函数关系式为.
设点M的横坐标为x,则M(x,),N(x,).
①若四边形OMNB为平行四边形,则MN=OB=12
∴,即x2-9x+27=0.
∵△<0,∴此方程无实数根.
∴不存在这样的点M,使得四边形OMNB恰为平行四边形.
②∵S四边形CBNA=S△ACB+S△ABN="72+" S△ABN
∵S△AOB=54,S△OBN=6x,S△OAN=·9·=-2x2+12x+54
∴S△ABN=S△OBN+S△OAN-S△AOB=6x+(-2x2+12x+54)-54=-2x2+18x=.
∴当x=时,S△ABN最大值=,此时M(,-6)
S四边形CBNA最大=.
核心考点
试题【如图,抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0),且与y轴交于点B(0,-12).(1)求抛物线的解析式;(2)若动点P从点A出发,以每秒2个单位沿射线AC】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.y=(x-2)2 | B.y=x2 | C.y=x2+6 | D.y=(x-2)2+6 |
(1)求此抛物线的解析式;
(2)联结AB,过点作线段的垂线交抛物线于点,如果以点为圆心的圆与抛物线的对称轴相切,先补全图形,再判断直线与⊙的位置关系并加以证明;
(3)已知点是抛物线上的一个动点,且位于,两点之间.问:当点运动到什么位置时,的面积最大?求出的最大面积.
A. | B. | C. | D. |
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