题目

题型：同步题难度：来源：

三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A₁B₁C₁，∠BAC=90°，A₁A⊥平面ABC，A₁A=，AB=，AC=2，A₁C₁=1，，
(1)证明：平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；
(2)求二面角A-CC₁-B的余弦值．

答案

(1)证明：∵A₁A⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴A₁A⊥BC，
在Rt△ABC中，AB=，AC=2，
∴BC=，
∵BD：DC=1：2，
∴BD=，
又，
∴△DBA∽△ABC，
∴∠ADB=∠BAC=90°，即AD⊥BC，
又A₁A∩AD=A，
∴BC⊥平面A₁AD，
∵BC平面BCC₁B₁，
∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁。 (2)如右图，作AE⊥C₁C交C₁C于E点，连接BE，
由已知得AB⊥平面ACC₁A₁，
∴AE是BE在平面ACC₁A₁内的射影，
由三垂线定理知BE⊥CC₁，
∴∠AEB为二面角A-CC₁-B的平面角，
过C₁作C₁F⊥AC交AC于F点，则CF=AC-AF=1，C₁F=A₁A=，
∴∠C₁CF=60°，
在Rt△AEC中，AE=ACsin60°=2×=，
在Rt△BAE中，tan∠AEB=，
∴cos∠AEB=，
即二面角A-CC₁-B的余弦值为。