题目

题型：四川省月考题难度：来源：

如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点． （1）求证：平面PDE⊥平面PAC；
（2）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；
（3）求点B到平面PDE的距离．

答案

解：（1）设AC与DE交点为G，延长DE交CB的延长线于点F，则△DAE≌△FBE，
∴BF=AD=1，∴CF=4，
∴ ，
又∵，
∴∠F=∠ACD，
∵∠ACD+∠ACF=90°，
∴∠F+∠ACF=90°，
∴∠CGF=90°，
∴AC⊥DE 
又∵PC⊥底面ABCD，
∴PC⊥DE， ∴DE⊥平面PAC，
∵DE 平面PDE， ∴平面PDE⊥平面PAC 
（2）连接PG，过点C作CH⊥PG于H点，
又由（1）知平面PDE⊥平面PAC，且PG是交线，
根据面面垂直的性质，得CH⊥平面PDE，
∴∠CPG即为直线PC与平面PDE所成角
在Rt△DCA中，CG==
在Rt△PCG中，tan∠CPG==
∴sinα=，即直线PC与平面PDE所成角的正弦值为
（3）由于 ，B到平面PDE的距离等于点C到平面PDE的距离的，即．
在Rt△PCG中，，
从而点B到平面PDE的距离等于 ．