题目

题型：福建省期中题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。
（1）证明：DE⊥平面PBC；
（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值。

答案

（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥BC，
又∵底面ABCD是正方形，
∴DC⊥BC，
又PD∩DC=D，
∴BC⊥面PDC，
又DE平面PDC，
∴DE⊥BC，                                          ①
在Rt△PDC中，PD=DC，E是PC的中点，
∴DE⊥PC，                                          ②
又PC∩BC=C，                                       ③
由①②③得，DE⊥面PBC。

（2）解：作EF⊥DC交CD于F，连结BF，
设正方形ABCD的边长为a，
∵ PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥DC，
∴EF∥PD，F为DC的中点，
∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，
故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角。
在RtΔBCF中，，
∵，
∴在RtΔEFB中，，
所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为。