题目

题型：浙江省高考真题难度：来源：

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2，
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。

答案

（Ⅰ）证明：由AB=AC，D是BC的中点，
得AD⊥BC，
又PO⊥平面ABC，得PO⊥BC，
因为PO∩BC=O，
所以BC⊥平面PAD，
故BC⊥PA。 （Ⅱ）解：如图，在平面PAD内作BM⊥PA于M，连结CM，
由（Ⅰ）中知AP⊥BC，得AP⊥平面BMC，
又AP平面APC，所以平面BMC⊥平面APC，
在Rt△ADB中，AB²=AD²+BD²=41，得AB=；
在Rt△POD中，PB²=PO²+OD²，
在Rt△PDB中，PB²=PD²+BD²，
所以PB²=PO²+OD²+BD²=36，得PB=6；
在Rt△POA中，PA²=AO²+OP²=25，得PA=5，
又，
从而，
所以AM=PA-PM=3；
综上所述，存在点M符合题意，AM=3。