题目

题型：广东省高考真题难度：来源：

如图，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=FD=a，FE=a，
(Ⅰ)证明：EB⊥FD；
(Ⅱ)已知点Q，R分别为线段FE，FB上的点，使得FQ=FE，FR=FB，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值。

答案

(Ⅰ)证明：∵E为的中点，AB=BC，AC为直径，
∴EB⊥AD，
，
∴EB⊥FB，
又∵BF∩BD=B，
∴EB⊥平面BDF，
∵FD平面BDF，
∴EB⊥FD； (Ⅱ)解：过D作HD∥QR，
，
∴QR∥EB，∴HD∥EB，
又∵D∈平面BED∩平面RQD，
∴HD为平面BED与平面RQD的交线，
∵BD，RD平面BDF，EB⊥平面BDF，
∴HD⊥BD，HD⊥RD，
∴∠RDB为平面BED与平面RQD所成二面角的平面角，
∵FB=FD，BC=CD，
∴FC⊥BD，
∴，
∴，
∴
，
∴。