题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，
(1)证明：BD⊥AA₁；
(2)证明：平面AB₁C∥平面DA₁C₁；
(3)在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由。

答案

(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，
由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，由BD⊥平面AA₁C₁C，
故BD⊥AA₁。
(2)证明：由棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的性质知AB₁∥DC₁，A₁D∥B₁C，
AB₁∩B₁C=B₁，A₁D∩DC₁=D，
由面面平行的判定定理知平面AB₁C∥平面DA₁C₁；
(3)解：存在这样的点P．
由棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的性质知A₁D∥B₁C，
在C₁C的延长线上取点P，使C₁C=CP，连接BP，
因B₁BC₁C，所以B₁BCP，
所以四边形BB₁CP为平行四边形，则BP∥B₁C，
所以BP∥A₁D，
所以BP∥平面DA₁C₁。