题目

题型：湖北省高考真题难度：来源：

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）。
（1）求证：对任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE；
（2）设二面角C-AE-D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθ·tanφ=1，求λ的值。

答案

解：（1）如图，连接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD。
SD⊥平面ABCD，
∴BD是BE在平面ABCD上的射影，
∴AC⊥BE。
（2）如图，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=，
∵SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
∴SD⊥CD。
又底面ABCD是正方形，
∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD
连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，
故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=θ。
在Rt△BDE中，∵BD=2a，DE=
∴
在Rt△ADE中，∵
∴
从而
在中，
由，得

由，解得，即为所求。