题目

题型：广东省模拟题难度：来源：

一个几何体是由圆柱ADD₁A₁和三棱锥E-ABC组合而成，点A，B，C在圆O的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图所示，其中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2。
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求三棱锥E-BCD的体积。

答案

解：（1）证明：因为EA⊥平面ABC，AC平面ABC，
所以EA⊥AC，即ED⊥AC
又因为AC⊥AB，AB∩ED=A，
所以AC⊥平面EBD
因为BD平面EBD，
所以以AC⊥BD。
（2）因为点A，B，G在圆O的圆周上，且AB⊥AC，
所以BC为圆O的直径
设圆O的半径为r，圆柱高为h，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得
，解得
所以BC=4，AB=AC=
由（1）知，AC⊥平面EBD，
所以
因为EA⊥平面ABC，AB平面ABC，
所以EA⊥AB，即ED⊥AB，
其中ED=EA+DA=2+2=4，
因为AB⊥AC，AB=AC=
所以
所以。