在四面体ABCD中，AB=AC=1，∠BAC=90°，AD=，△BCD是正三角形，（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求四面体ABCD的体积。 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：新疆自治区模拟题难度：来源：

在四面体ABCD中，AB=AC=1，∠BAC=90°，AD=

，△BCD是正三角形，
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求四面体ABCD的体积。

答案

解：（Ⅰ）证明：取BC的中点O，连接OA，OD，
∵AB=AC，
∴BC⊥OA，
∵△BCD是正三角形，
∴BC⊥OD，又OA∩OD=O，
∴BC⊥面AOD，
∴AD⊥BC；

（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明过程知，
平面AOD将四面体ABCD分成两个相同的三棱锥，
在△AOD中，OA=OB=

，
OD=BDsin60°=

，
∴

。

核心考点

试题【在四面体ABCD中，AB=AC=1，∠BAC=90°，AD=，△BCD是正三角形，（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求四面体ABCD的体积。】；主要考察你对线面垂直等知识点的理解。[详细]

举一反三

设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线，从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：（）。（用代号表示）

题型：江苏模拟题难度：| 查看答案

如图，平面PAC⊥平面ABC，点E，F，D分别为线段PA，PB，AC的中点，点G是线段CO的中点，AB=BC=AC=4，PA=PC=

，
求证：（Ⅰ）PA⊥平面EBO；
（Ⅱ）FG∥平面EBO。

题型：江苏模拟题难度：| 查看答案

如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°。

（1）证明：AB⊥PC；
（2）若PC=4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P-ABC体积。

题型：陕西省模拟题难度：| 查看答案

如图，多面体ABC-A₁B₁C₁中，三角形ABC是边长为4的正三角形，AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁⊥平面ABC，AA₁=BB₁=2CC₁=4。

（1）若O是AB的中点，求证：OC⊥A₁B；
（2）在线段AB₁上是否存在一点D，使得CD∥平面A₁B₁C₁，若存在确定点D的位置；若不存在，说明理由。

题型：江西省模拟题难度：| 查看答案

设m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，当m

α，n

β时，下列命题正确的是[ ]
A.若m∥n，则α∥β
B.若m⊥n，则α⊥β
C.若m⊥β，则m⊥n
D.若n⊥α，则m⊥β

题型：福建省模拟题难度：| 查看答案

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