题目

题型：北京期末题难度：来源：

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱PC=2，
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅲ）求二面角B-AP-C的余弦值。

答案

解：（Ⅰ）设AB中点为D，连结PD，CD，
因为AP=BP，所以PA⊥AB，
又AC=BC，所以CD⊥AB，
因为，
所以AB⊥平面PCD，
因为平面PCD，
所以PC⊥AB； 
（Ⅱ）由已知∠ACB=90°，AC=BC=2，
所以，
又△PAB为正三角形，且PD⊥AB，所以，
因为，
所以∠CDP=90°，
由（Ⅰ）知∠CDP是二面角P-AB-C的平面角，
所以平面PAB⊥平面ABC。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知CD⊥平面PAB，
过D作DE⊥PA于E，连结CE，
则CE⊥PA，所以∠DEC是二面角B-AP-C的平面角，
在Rt△CDE中，易求得，
因为，
所以，
所以，
即二面角B-AP-C的余弦值为。