题目

题型：0101 期中题难度：来源：

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=PA=BC（a＞0），
(Ⅰ)当a=1时，求证：BD⊥PC；
(Ⅱ)若BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD，求此时二面角A-PD-Q的余弦值。

答案

解：(Ⅰ)当a=1时，底面ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
又因为BD⊥PA，
∴BD⊥面PAC，
又，
∴BD⊥PC。(Ⅱ) 因为两两垂直，
分别以它们所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系，
如图所示，令AB=1，可得BC=a，
则，
设BQ=m，则，
要使PQ⊥QD，
只要，
即，
由，此时m=1，
所以BC边上有且只有一个点Q，
使得PQ⊥QD时，Q为BC的中点，且a=2，
设面PQD的法向量，
则，
解得，
取平面PAD的法向量，
则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等，
所以，
因此二面角A-PD-Q的余弦值为。