题目

题型：0111 期中题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点，
求证：（1）EF∥侧面PAD；
（2）PA⊥平面PDC。

答案

证明：（1）连结AC，
∵底面ABCD是边长为a的正方形，F为BD的中点，
∴F∈AC，且F也是AC的中点，CD⊥AD，
在△CPA中，
∵E为PC的中点，
∴EF∥PA，
∵平面PAD，
∴EF∥侧面PAD；（2）∵侧面PAD⊥底面ABCD，
侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊥AD，
∴CD⊥侧面PAD，
∵，
∴CD⊥PA，
又∵，
∴，
∴△PAD是等腰直角三角形，
且，
∵CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PDC。