如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2，AD=1，E 是 PB 的中点．（Ⅰ）若F是BC上任一点，求证：AE⊥ - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：云南省月考题难度：来源：

如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2，AD=1，E 是 PB 的中点．
（Ⅰ）若F是BC上任一点，求证：AE⊥PF；
（Ⅱ）设 AC、BD交于点O，求直线BO与平面AEC所成角的正弦值．

答案

解：（Ⅰ）证明：因为四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2和1的矩形，
侧棱PA⊥平面ABCD，且PA=2
所以BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB．∴BC⊥AE．
又在△PAB中，∵PA=PB，E是PB的中点，
∴AE⊥PB．又BC∩PB=B，
∴AE⊥平面PBC，
又PF

面PBC．
∴AE⊥PF．
（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则P（0，0，2），B（2，0，0），E（1，0，1），C（2，1，0），0（1，

，0）．
∴

．
设

，是平面EAC的一个法向量，则由

得

即

取x=1得

．
而

，
∴

．
设直线BO与平面AEC所成角为α，则sinα=

．
∴直线BO与平面AEC所成角的正弦值为

．

核心考点

试题【如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2，AD=1，E 是 PB 的中点．（Ⅰ）若F是BC上任一点，求证：AE⊥】；主要考察你对线面垂直等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图，在四棱锥E﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE=BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BC；
（2）如果点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE．

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如图，在四棱锥p﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求二面角B﹣PC﹣A的余弦值．

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如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求证：AB₁

平面A₁DC；
（Ⅲ）求二面角D﹣A₁C﹣A的余弦值．

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已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，求证：l⊥γ．

题型：江苏期中题难度：| 查看答案

如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，给出下列结论：
①BC⊥面PAC；
②AF⊥面PCB；
③EF⊥PB；
④AE⊥面PBC．
其中正确命题个数是（）个．

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