题目

题型：黑龙江省模拟题难度：来源：

如图，在三棱拄ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知BC=1，CC₁=2，AB=， ∠BCC₁= 。
（1）求证：C₁B⊥平面ABC；  
（2）当E为CC₁的中点时，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值。

答案

证（1）因为AB⊥侧面BB₁C₁C，故AB⊥BC₁ 
在△BC₁C中，BC=1，CC₁=BB₁=2， ∠BCC₁= 
由余弦定理有    

故有  BC²+BC₁²=CC₁²
∴C₁B⊥BC  
而BC∩AB=B 且AB，BC 平面ABC      
∴C₁B⊥平面ABC  
（2）取EB₁的中点D，A₁E的中点F，BB₁的中点N，AB₁的中点M， 
连DF则DF∥A₁B₁，连DN则DN∥BE，连MN则MN∥A₁B₁ 
连MF则MF∥BE，且MNDF为矩形，MD∥AE
又∵A₁B₁⊥EB₁，BE⊥EB₁   
故∠MDF为所求二面角的平面角
在Rt△DFM中，DF=    A₁B₁= （∵△BCE为正三角形）  

∴tan∠MDF=