题目

题型：不详难度：来源：

如图：已知△PAB所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且PA=PB=

2

2

AB，∠ABC=60°，E为AB的中点．   
（Ⅰ）证明：CE⊥PA；
（Ⅱ）若F为线段PD上的点，且EF与平面PEC的夹角为45°，求平面EFC与平面PBC夹角的余弦值．

答案

（Ⅰ）证明：在菱形ABCD中，∵∠ABC=60°
∴△ABC为正三角形，
又∵E为AB的中点
∴CE⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，AB为平面PAB与平面ABCD的交线，
∴CE⊥平面PAB，
又∵PA⊂平面PAB
∴CE⊥PA…（4分）
（Ⅱ）∵PA=PB，E为AB的中点，
∴PE⊥AB，
又∵PE⊥CE，AB∩CE=E
∴PE⊥平面ABCD，
以E为坐标原点，EB，EC，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示
设AB=2，则PA=PB=

2

，EP=EA=EB=1，EC=

3

，
∴E（0，0，0），B（1，0，0，），C（0，

3

，0），P（0，0，1），D（-2，

3

，0）
设

EF

=

EP

+k

PD

，其中0≤k≤1，则

EF

=(-2k，

3

k，1-k)，
∵

EB

=(1，0，0)为平面PEC的法向量，
∴

2

2

=|cos(

EF

，

EB)|

，得k=

1

2

，
即F是PD的中点，∴F（-1，

3

2

，

1

2

）…（9分）
设

n

=(x，y，z)为平面EFC的法向量，则

n • EF =0 n • EC =0

-x+ 3 2 y+ 1 2 z=0 3 y=0

 令z=2，得x=1，取

n

=(1，0，2)，
设

m

=(x1，y1，z1)为平面PBC的法向量，则

m • PB =0 m • PC =0

 得出

x1-z1=0 3 y1-z1=0

令z₁=1，得x1=1，y1=

3

3

，取

m

=(1，

3

3

，1)，
设平面EFC与平面PBC夹角为θ，则cosθ=|cos（

n

，

m

）|=|

n • m

| n |•| m |

|=

3 105

35

…（12分）