题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是矩形，M、N分别是CD、SC的中点，SA⊥底面ABCD，SA=AD=1，AB=

2

．
（I）求证：MN⊥平面ABN；
（II）求二面角A-BN-C的余弦值．

答案

（I）证明：以A点为原点，AB为x轴，AD为y轴，AZ为z轴的空间直角坐标系，
如图所示．则依题意可知相关各点的坐标分别是：A（0，0，0），B（

2

，0，0），
C（

2

，1，0），D（0，1，0），S（0，0，1），
∴M(

2

2

，1，0)，N(

2

2

，

1

2

，

1

2

).（2分）
∴

MN

=(0，-

1

2

，

1

2

)，

AB

=(

2

，0，0)，

AN

=(

2

2

，

1

2

，

1

2

).（4分）

∴

MN

•

AB

═0，

MN

•

AN

═0．∴

MN

⊥

AB

，

MN

⊥

AN

.
∴MN⊥平面ABN．（7分）
（II）设平面NBC的法向量

n

=(a，b，c)，则

n

⊥

BC

，

n

⊥

SC

.
且又易知

BC

=(0，1，0)，

SC

=(

2

，1，-1)
∴

n • BC =0 n • SC =0

即

b=0 2 a+b-c=0.

∴

b=0 c= 2 a.

令a=1，则

n

=(1，0，

2

).（11分）
显然，

MN

=(0，-

1

2

，

1

2

)就是平面ABN的法向量．
∴cos＜

n

，

MN

＞=

n • MN

| n |•| MN |

═

3

3

.
由图形知，二面角A-BN-C是钝角二面角（12分）
∴二面角A-BN-C的余弦值是-

3

3

．（14分）