题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求证AE⊥平面BCE;
(Ⅱ)求二面角B-AC-E的大小;
(Ⅲ)求点D到平面ACE的距离.
答案
∴BF⊥AE,
∵二面角D-AB-E为直二面角,
∴平面ABCD⊥平面ABE,又BC⊥AB,∴BC⊥平面ABE,∴BC⊥AE,
又BF⊂平面BCE,BF∩BC=B,∴AE⊥平面BCE.
(II)连接AC、BD交于G,连接FG,
∵ABCD为正方形,∴BD⊥AC,
∵BF⊥平面ACE,BG⊥AC,⇒AC⊥平面BFG,
∴FG⊥AC,∠FGB为二面角B-AC-E的平面角,由(I)可知,AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB,
又AE=EB,AB=2,AE=BE=
2 |
在直角三角形BCE中,CE=
BC2+BE2 |
6 |
BC•BE |
CE |
2
| ||
|
2 | ||
|
在正方形中,BG=
2 |
BF |
BG |
| ||||
|
| ||
3 |
∴二面角B-AC-E为arcsin
| ||
3 |
(III)由(II)可知,在正方形ABCD中,BG=DG,D到平面ACE的距离等于B到平面ACE的距离,BF⊥平面ACE,线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离,即为D到平面ACE的距离所以D到平面的距离为
2 | ||
|
2
| ||
3 |
另法:过点E作EO⊥AB交AB于点O.OE=1.
∵二面角D-AB-E为直二面角,∴EO⊥平面ABCD.
设D到平面ACE的距离为h,
∵VD-ACE=VE-ACD,∴
1 |
3 |
1 |
3 |
∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC.∴h=
| ||
|
| ||||||
|
2
| ||
3 |
∴点D到平面ACE的距离为
2
| ||
3 |
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,
过O点平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图.
∵AE⊥面BCE,BE⊂面BCE,∴AE⊥BE,
在Rt△AEB中,AB=2,O为AB的中点,
∴OE=1.∴A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),
AE |
AC |
设平面AEC的一个法向量为
n |
则
|
|
解得
|
令x=1,得
n |
又平面BAC的一个法向量为
m |
∴cos(
m |
n |
| ||||
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1 | ||
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| ||
3 |
∴二面角B-AC-E的大小为arccos
| ||
3 |
(III)∵AD∥z轴,AD=2,∴
AD |
∴点D到平面ACE的距离d=|
AD |
AD |
n |
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| ||||
|
|
2 | ||
|
2 |
3 |
3 |
核心考点
试题【如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)求证AE⊥平面BCE;(Ⅱ)求二面角B-A】;主要考察你对线面垂直等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)证明:SO⊥BD;
(2)求三棱锥O-SCD的体积.
(1)求证:OB∥平面CDE;
(2)求三棱锥O-CDE的体积;
(3)在CD上是否存在点M,使OM⊥平面CDE,若存在,则求出M点的位置,若不存在,请说明理由.
(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值;
(2)在线段AN上是否存在点S,使得ES⊥平面AMN?
(3)若存在,求线段AS的长;若不存在,请说明理由.
(1)求证:EG⊥平面ABCD;
(2)若AD=2,求二面角E-FC-G的度数.
(1)求证:AP∥平面MBD;
(2)若AD⊥PB,求证:BD⊥平面PAD.
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