题目

题型：不详难度：来源：

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等边三角形，侧棱AA₁⊥平面ABC，AB=2，AA1=2

3

，D、E分别为AA₁、BC₁的中点．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求三棱锥C-BC₁D的体积．

答案

（I）证明：如图
取BC，B₁C₁的中点F、G，连结FG、AF，∴AF⊥BC，
又AA₁⊥平面ABC，BB₁∥AA₁
∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥AF；
B₁B∩BC=B，
∴AF⊥平面BB₁C₁C，
又AD∥EF，且AD=EF=

1

2

AA₁，∴DE∥AF
∴DE⊥平面BB₁C₁C．
（II）由（Ⅰ）知，DE⊥平面BB₁C₁C，∴DE是三棱锥C-BC₁D底面BCC₁上的高，
又DE∥AF，且DE=AF=

3

2

AB=

3

2

×2=

3

，
S△BCC1=

1

2

×BC×CC₁=

1

2

×2×2

3

=2

3

；
∴三棱锥C-BC₁D的体积为：
V三棱锥C-BC1C=

1

3

×S_△ABC×DE=

1

3

×2

3

×

3

=2．