题目

题型：0103 期末题难度：来源：

如图1所示，在边长为12的正方形中，BB₁∥CC₁∥AA₁，且AB=3，BC=4，AA′BB₁，CC₁于点P，Q分别交将该正方形沿BB₁，CC₁折叠，使得A′A′₁与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
（Ⅰ）求证：AB⊥PQ；
（Ⅱ）在底边AC上有一点M，AM：MC=3：4，求证：BM∥平面APQ；
（Ⅲ）求直线BC与平面APQ所成角的正弦值。

答案

（Ⅰ）证明：因为AB=3，BC=4，
所以AC=5，从而，即AB⊥BC，
又因为AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，
所以AB⊥平面BC₁，
又PQ平面BC₁，
所以AB⊥PQ。
（Ⅱ）证明：过M作MN∥CQ交AQ于N，连接PN，
因为AM：MC=3：4， AM：AC=MN：CQ=3：7，
∴MN=PB=3，
∵PB∥CQ，
∴MN∥PB，
∴四边形PBMN为平行四边形，
∴BM∥PN，所以BM∥平面APQ。
（Ⅲ）解：由图1知，PB=AB=3，QC=7，分别以BA，BC，BB₁为x，y，z轴，
则A（3，0，0），C（0，4，0），P（0，0，3），Q（0，4，7），
，
 设平面APQ的法向量为，
所以， 即，
令a=1，则c=1，b=-1，
∴，
所以直线BC与平面APQ所成角的正弦值为。