题目

题型：广东省模拟题难度：来源：

如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE，
(Ⅰ)在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论；
(Ⅱ)在平面EBD与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

答案

解：(Ⅰ)线段BC的中点就是满足条件的点P，
证明如下：取AB的中点F，连接DP，PF，EF，
则 FP∥AC，FP=AC，
取AC的中点M，连接EM，EC，
∵AE=AC且∠EAC=60°，
∴△EAC是正三角形，EM⊥AC，
∴四边形EMCD为矩形，
∴ED=MC=AC ，
又ED∥AC，
∴ED∥FP且ED=FP，四边形EFPD是平行四边形，
∴DP∥EF，
而EF平而EAB，DP平面EAB，
∴DP∥平面EAB。 (Ⅱ)过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG，
∵ED∥AC，
∴ED∥l，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱，
∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，
∴DC⊥平面ABC，
又∵l平面ABC，
∴l⊥平面DGC，
∴l⊥DC，
∴∠DCC是所求二面角的平面角，
设AB=AC=AE=2a，则，
∴，
∴。