题目

题型：浙江省模拟题难度：来源：

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD， CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
(Ⅰ)求证：BE∥平面PAD；
(Ⅱ)若BE⊥平面PCD，
①求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
②求二面角E-BD-C的余弦值。

答案

解：设AB=a，PA=b，
建立如图的空间直角坐标系，
，，
(Ⅰ)，
所以，，
平面PAD，
∴BE∥平面PAD。
(Ⅱ)∵BE⊥平面PCD，
∴BE⊥PC，即，
，
∴，即b=2a，
①，
，
所以，异面直线PD与BC所成角的余弦值为；
②平面BDE和平面BDC中，，
，
所以，平面BDE的一个法向量为，
平面BDC的一个法向量为，
，
所以，二面角E-BD-C的余弦值为。