题目

题型：山东省高考真题难度：来源：

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC。
（1）设E是DC的中点，求证：D₁E∥平面A₁BD；
（2）求二面角A₁-BD-C₁的余弦值。

答案

解：（1）证明：连结B，则四边形DABE为正方形
∴BE=AD=A₁D₁，且BE∥AD∥A₁D₁
∴四边形A₁D₁EB为平行四边形
∴D₁E∥A₁B
又D₁E平面A₁BD，A₁B平面A₁BD，
∴D₁E∥平面A₁BD。（2）以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x轴，y轴， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA=1，则 D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C₁（0，2，2），A₁（1，0，2）
∴
设n=（x，y，z）为平面A₁BD 的一个法向量，由
得
取z=1，则n=（-2，2，1）
又
设m=（x₁，y₁，z₁）为平面C₁BD的一个法向量
由
得
取z₁=1，则m=（1，-1，1）
设m与n的夹角为α，二面角A₁-BD-C₁为θ，显然θ为锐角
∴
∴
即所求二面角A₁-BD-C₁的余弦值为。