题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，底面ABC为正三角形，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，EA=AB=2DC=2a，设F为EB的中点。
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求直线AD与平面AEB所成角的正弦值。

答案

解：（1）如图，过F作FH∥EA交AB于H，连接HC，
∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，
∴EA∥DC
又∵FH∥EA
∴FH∥DC
而F是EB的中点，
∴FH=AE=DC
∴四边形CDFH是平行四边形
∴DF∥HC
又HC平面ABC，DF平面ABC，
∴DF∥平面ABC； 
（2）△ABC为正三角形，H为AB中点，
∴CH⊥AB
∵EA⊥平面ABC，CH面ABC，
∴CH⊥EA
又∵EA∩AB =A，EA、AB平面EAB，
∴CH⊥平面EAB
∵DF∥CH，
∴DF⊥平面EAB
∴AF为DA在平面EAB上的射影，则∠DAF为直线AD与平面AEB所成角，
在Rt△AFD中，，
所以直线AD与平面AEB所成角的正弦值为。