题目

题型：海南省模拟题难度：来源：

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=DE=2AB=4，F为CD的中点，
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）若∠CAD=90°，求三棱锥F-BCE的体积。

答案

（Ⅰ）证明：如图，取DE的中点M，连接AM，FM，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，
又∵AB=FM=，
∴四边形ABEM是平行四边形，
∴AM∥BE，
又∵AM平面BCE，BE平面BCE，
∴AM∥平面BCE，
∵CF=FD，DM=ME，
∴MF∥CE，
又∵MF平面BCE，CE平面BCE，
∴MF∥平面BCE，
又∵AM∩MF=M，
∴平面AHF∥平面BCE，
∵AF平面AMF，
∴AF∥平面BCE。（Ⅱ）解：由（Ⅰ），知AF∥平面BCE，
∴V_F-BCE=V_A-BCE=V_C-ABE，
∵AB⊥平面ACD，
∴平面ABED⊥平面ACD，
∵∠CAD=90°，即AC⊥AD，
∴AC⊥平面ABED，
所以，AC是三棱锥C-ABE的高，
∵AB=2，AD=4，
∴，
∴。