题目

题型：四川省模拟题难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，延长A₁C₁至点P，
使C₁P=A₁C₁，连接AP交棱CC₁于点D．
（1）求证：PB₁平面BDA₁；
（2）求二面角A﹣A₁D﹣B的平面角的余弦值．

答案

解：以为原点，B，C，A分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立坐标系，
则（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），B（1，0，1），P（0，2，0）
（1）在△PA中，D=A，则D（0，1，）
∴=（1，0，1），=（0，1，），=（﹣1，2，0）
设平面BD的一个法向量为=（a，b，c）则
令c=﹣1，则=（1，，﹣1）
∵·=1（﹣1）+2+（﹣1）0=0
∴P平面BD
（2）由（I）知平面BD的一个法向量=（1，，﹣1）
又=（1，0，0）为平面AD的一个法向量
∴cos＜，＞===
故二面角A﹣D﹣B的平面角的余弦值为