题目

题型：高考真题难度：来源：

直三棱柱ABC-A1B₁C₁中，AC=BC，AA₁=AB，D为BB₁的中点，E为AB₁上的一点，AE=3EB₁。
（1）证明：DE为异面直线AB₁与CD的公垂线；
（2）设异面直线AB₁与CD的夹角为45°，求二面角A₁-AC₁-B₁的大小。

答案

解：（1）连结A₁B，记A₁B与AB的交点为F，
因为面AA₁B₁B 为正方形，
故A₁B⊥AB₁且AF=FB₁
又AE=3EB₁，
所以FE=EB₁，
又D为BB₁的中点，
故DE∥BF，DE⊥AB₁
作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点
又由底面ABC⊥面AA₁B₁B，得CG⊥面AA₁B₁B
连结DG，则DC∥AB₁，
故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD
所以DE为异面直线AB与CD的公垂线。
（2）因为DC∥AB₁，
故∠CDG为异面直线AB₁与CD的夹角，∠CDC =45°
设AB=2，则
作B₁H⊥A₁C₁，H为垂足，因为底面A₁B₁C₁⊥面AA₁C₁C，
故B₁H⊥面AA₁C₁C，
又作HK⊥AC1，K为垂足，连结B₁K，由三垂线定理，得B₁K⊥AC₁，因此∠B₁KH为二面角A₁-AC₁-B的平面角




所以二面角A₁-AC₁-B的大小为arctan。