题目

题型：河北省期末题难度：来源：

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁是边长为2的正方形，AC=BC，E为A₁C上的点，且AE⊥平面A₁CB，
（Ⅰ）求证：BC⊥平面AA₁C；
（Ⅱ）求三棱锥B₁-A₁CB的体积。

答案

（Ⅰ）证明：∵AE⊥平面A₁CB，
∴BC⊥AE，
又∵ABC-A₁B₁C₁为直棱柱，
∴BC⊥AA₁，
∵AA₁∩AE=A，
∴BC⊥平面AA₁C。
（Ⅱ）解：作CO⊥AB，垂足为O，
依题意，CO⊥平面A₁BB₁，
由（Ⅰ）得CO=1，
∵侧面ABB₁A₁是正方形，
∴，
∴三棱锥B₁-A₁CB的体积。