题目

题型：0119 期中题难度：来源：

已知：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E为棱CC₁的中点。

（1）求证：B₁D₁⊥AE；
（2）求证：AC∥平面B₁DE；
（2）求三棱锥A-BDE的体积。

答案

（1）证明：连结BD，则，
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵CE⊥面ABCD，
∴CE⊥BD，
又AC∩CE=C，
∴BD⊥面ACE，
∵，
∴BD⊥AE，
∴。（2）证明：作的中点F，连结，
∵是的中点，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴
∵是的中点，
∴
又，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴
∵，，
∴平面面
又平面，
∴面。（3）解：
。