题目

题型：不详难度：来源：

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，E，F分别是A₁A，C₁C上一点，且AE=CF=2a．
（1）求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）求三棱锥B₁-ADF的体积；
（3）求证：BE∥平面ADF．

答案

（1）∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC．


在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵B₁B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，∴AD⊥B₁B．
∵BC∩B₁B=B，∴AD⊥平面B₁BCC₁．
∵B₁F⊂平面B₁BCC₁，∴AD⊥B₁F．
在矩形B₁BCC₁中，∵C₁F=CD=a，B₁C₁=CF=2a，
∴Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁．
∴∠CFD=∠C₁B₁F．∴∠B₁FD=90°，可得B₁F⊥FD．
∵AD∩FD=D，∴B₁F⊥平面AFD．
（2）∵B₁F⊥平面AFD，∴B₁F是三棱锥B₁-ADF的高
等腰△ABC中，AD=

AC2-( 1 2 BC)2

=2

2

a，
矩形BB₁C₁C中，DF=B₁F=

a2+(2a)2

=

5

a
因此，三棱锥B₁-ADF的体积为
V B1-AFD=

1

3

×S_△AFD×B₁F=

1

3

×

1

2

×AD×DF×B 1F=

5 2

3

a3．
（3）连EF、EC，设EC∩AF=M，连结DM，
∵AE=CF=2a，∴四边形AEFC为矩形，可得M为EC中点．
∵D为BC中点，∴MD∥BE．
∵MD⊂平面ADF，BE⊄平面ADF，∴BE∥平面ADF．