题目

题型：不详难度：来源：

已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

(Ⅰ)求此几何体的体积；
(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值；
(Ⅲ)探究在上是否存在点Q，使得，并说明理由．

答案

(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) 在上存在点Q，使得.

解析

试题分析：（Ⅰ）由该几何体的三视图可知垂直于底面，且，
，
，，
此几何体的体积为；  
解法一：（Ⅱ）过点作交于，连接，则或其补角即为异面直线
与所成角，在中，，，
；即异面直线与所成角的余弦值为. 
（Ⅲ）在上存在点Q，使得；取中点，过点作于点，则点为所求点；
连接、，在和中，
，∽，
，
，，，
，，
，
以为圆心，为直径的圆与相切，切点为，连接、，可得；
，，，，
，；
解法二：（Ⅰ）同上。
（Ⅱ）以为原点，以、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，得，，
，又异面直线与所成角为锐角，可得异面直线与
所成角的余弦值为。
（Ⅲ）设存在满足题设的点，其坐标为，
则，，，
，   ①；
点在上，存在使得，
即，化简得，    ②，
②代入①得，得，；
满足题设的点存在，其坐标为.
点评：本题考查三视图与直观图的关系，几何体的体积的求法，判断三视图复原的几何体的
形状是解题的关键，考查计算能力．