题目
题型:不详难度:来源:
某建筑物的上半部分是多面体, 下半部分是长方体(如图). 该建筑物的正视图和侧视图(如图), 其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成,侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成.
(Ⅰ)求直线与平面所成角的正弦值;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)求该建筑物的体积.
答案
(2)二面角的余弦值为.(3)建筑物的体积为.
解析
试题分析:解法1:(1)作平面,
垂足为,连接,则是直线与平面所成的角. ………………1分
由于平面平面,
故是直线与平面所成的角.……2分
作,垂足为,连接,
∵平面,∴.
∵平面,平面,
∴平面.
由题意知,
在Rt△中,,
在Rt△ 中,,在Rt△ 中,,
∴直线与平面所成角的正弦值为. ………………………… 4分
(2)延长交于点,连接,由(1)知平面
∵平面,∴.∵,∴.
∴是二面角的平面角. ………………………… 6分
在△中,,∵,∴.
∴二面角的余弦值为. …………………………… 8分
(3)作交于点,作交于点,由题意知多面体可分割为两个等体积的四棱锥和和一个直三棱柱.
四棱锥的体积为,
直三棱柱的体积为,
∴多面体的体积为. ……………10分
长方体的体积为. ………… 11分
∴建筑物的体积为. …………………… 12分
解法2:(参照解法1评分)
(1)以点为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系(如图),
作平面,垂足为,作,垂足为,依题意知,,
则,.
∴.
∵平面,∴平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为,则.
∴直线与平面所成角的正弦值为.
(2)由(1)知,设平面的法向量为,
由, ,得取平面的一个法向量为.
设平面的法向量为,由,,得
∴平面的一个法向量为.
∵, ∴二面角的余弦值为.
(3)(同解法1) 略
点评:本题通过考查直线与直线,直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化思想,函数与方程思想等.利用空间向量,往往使问题的解答得以简化,属中档题。
核心考点
试题【(本小题满分12分)某建筑物的上半部分是多面体, 下半部分是长方体(如图). 该建筑物的正视图和侧视图(如图), 其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成,侧】;主要考察你对空间几何体的视图与直观图等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求S关于x的函数关系式及该函数的定义域;
(2)当x取何值时,液晶广告屏幕MNEF的面积S最小?
A. | B.cm3 | C.cm3 | D.cm3 |
A.144 | B. | C. | D.64 |
A. | B. | C. | D. |
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)设,在圆柱内随机选取一点,记该点取自于三棱柱内的概率为.
(ⅰ)当点C在圆周上运动时,求的最大值;
(ii)记平面与平面所成的角为,当取最大值时,求的值.
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