题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，，，．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角；
（Ⅲ）设点在棱上，  ,若∥平面，求的值.

答案

（Ⅰ）先根据证明，再证明从而得证。
（Ⅱ）
（Ⅲ）

解析

【方法一】（1）证明：由题意知 则

（4分）
（2）∵∥，又平面.
∴平面平面.过作//交于过点作交于,则∠为直线与平面所成的角. 在Rt△中，∠，
∴，∴∠.即直线与平面所成角为（8分）
（3）连结，∵∥，
∴∥平面.
又∵∥平面，
∴平面∥平面，∴∥.
又∵
∴∴，即（12分）
【方法二】如图，在平面ABCD内过D作直线DF//AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

（1）设，则，
∵，∴　　　 　　（4分）
（2）由（1）知.
由条件知A（1，0，0），B（1，，0），
.设
则
即直线为.　　　（8分）
（3）由（2）知C（－3，，0），记P（0，0，a），则
，，，，
而，所以，
=
设为平面PAB的法向量，则，即，即.
 进而得，
由,得∴
　（12分）