题目
题型:不详难度:来源:
(1)求此几何体的体积V的大小;
(2)求异面直线DE与AB所成角的余弦值;
(3)试探究在DE上是否存在点Q,使得AQBQ并说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)由三视图还原几何体为一个锥体,利用锥体体积公式求解;(2)法1:化空间角为平面角,在一个三角形内求值;法2:建立空间直角坐标系求解;(3)法1:假设存在,通过构造面面垂直来实现AQBQ;法2:建立空间直角坐标系,转化为两对应向量数量积为零,求出点Q的坐标.
试题解析:(1)由该几何体的三视图知面,且EC="BC=AC=4" ,BD=1,
∴
∴.
即该几何体的体积V为. 3分
(2)解法1:过点B作BF//ED交EC于F,连结AF,
则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角. 5分
在△BAF中,∵AB=,BF=AF=.
∴.
即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为. 7分
解法2:以C为原点,以CA,CB,CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
则A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,1),E(0,0,4)
∴,∴
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为.
(3)解法1:在DE上存在点Q,使得AQBQ. 8分
取BC中点O,过点O作OQ⊥DE于点Q,则点Q满足题设.
连结EO、OD,在Rt△ECO和Rt△OBD中
∵ ∴∽
∵ ∴
∴. 11分
∵,
∴
∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切.切点为Q
∴
∵面,面 ∴ ∴面 13分
∵面ACQ
∴. 14分
解法2: 以C为原点,以CA,CB,CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
设满足题设的点Q存在,其坐标为(0,m,n),则
,
∵AQBQ ∴ ①
∵点Q在ED上,∴存在使得
∴ ②
②代入①得,解得
∴满足题设的点Q存在,其坐标为.
核心考点
试题【已知几何体A—BCED的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.(1)求此几何体的体积V的大小;(2)求异面直线DE与】;主要考察你对空间几何体的视图与直观图等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
A.180 | B.240 | C.276 | D.300 |
A. | B. | C. | D. |
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