题目

题型：不详难度：来源：

已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4，侧棱长为8，E，F分别是PB，PC上的点，求△AEF的周长最小值．

答案

沿三棱锥P-ABC的侧棱PA剪开后再展开，如图，

原图中△AEF的周长最小，也就是展开图中的AA^′，
在△PAB中，因为PA=PB=8，AB=4，
设∠APB=α，则cosα=

PA2+PB2-AB2

2PA•PB

=

82+82-42

2×8×8

=

7

8

．
∠APA^′=3α，
由cos3α=4cos³α-3cosα=4×(

7

8

)3-3×

7

8

=

7

128

．
在△APA^′中，由余弦定理得：
AA^′2=PA²+PA^′2-2PA•PA^′cos3α
=82+82-2×8×8×

7

128

=121．
所以，AA^′=11．
所以，△AEF的周长最小值为11．