题目

题型：不详难度：来源：

（12分）正方形ABCD边长为4，点E是边CD上的一点，
将AED沿AE折起到的位置时，有平面 平面ABCE，
并且（如图）
（I）判断并证明E点的具体位置；（II）求点D^/到平面ABCE的距离．

答案

（I）略   （II）

解析

（I）连结AC、BD交于点O，再连DD，由BDAC，且平面ACD平面ABCE于AC，∴BD平面ACD，故CDBD，又CDBD，∴CD平面BDD，即得CDDD，在Rt△CDD中，由于ED=ED，∴∠EDD=∠EDD，
则∠ECD=90⁰EDD=90⁰EDD=∠EDC，∴EC=ED=ED，
即E点为边CD的中点． …………………6分
  （II）方法一：如图取OC的中点M，连结DM、EM，
则EM//BD，得EM平面ACD，
即∠EMD=90⁰，又因为DE=2，EM=，
则DM=，又ADEM，∵ADDE，
∴ ADDE，∴AD平面EMD，
则ADDM，在Rt△AMD中，AD=4，AM=，DM=，
过D作DHAM于H点，则DH平面ABCE，
由于DH=，此即得点D到平面ABCE的距离．
方法二：如图, 连结OD，∵CD平面BDD， 
∴CDOD，
在△ADC中，设OD，
则∵OC，∴CD=，
∵∠AOD与∠DOC互补，
由余弦定理得，
解得，在直角三角形ODC中， 
由面积公式得所求距离为．
方法三：能用最小角定理帮助解△ADC，
即，其中
可求．
另解： 建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），
A（4，0，0），B（4，4，0），C（0，4，0），
设E（0，，0），D（），
设DH平面ABCE于H点，则H在AC上，
∴H的坐标为（，0），依题意有：
，，，，
∵，
∴，，
∴，
，∴，
，∴
由与两式相减，
将代入得，从而有，
即E为CD中点，点D到平面ABCE的距离是． …………………12分