题目

题型：不详难度：来源：

如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的各棱长都相等，D、E分别是CC₁和AB₁的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3 
(1)若M为AB中点，求证 BB₁∥平面EFM；
(2)求证 EF⊥BC；
(3)求二面角A₁—B₁D—C₁的大小  

答案

(1)证明连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB₁的中点，
∴BB₁∥ME，又BB₁平面EFM，∴BB₁∥平面EFM 
(2)证明 取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得 AN⊥BC，
又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中点，故MF∥AN，
∴MF⊥BC，而BC⊥BB₁，BB₁∥ME 
∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，
又EF平面EFM，∴BC⊥EF 
(3)解 取B₁C₁的中点O，连结A₁O知，A₁O⊥面BCC₁B₁，由点O作B₁D的垂线OQ，垂足为Q，连结A₁Q，由三垂线定理，A₁Q⊥B₁D，故∠A₁QD为二面角A₁—B₁D—C的平面角，易得∠A₁QO=arctan 

解析

见详解