题目

题型：不详难度：来源：

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，ΔABD和ΔBCD均为等边三角形，
AB ="2" , AC =．  
（I）求证：平面BCD；                                  
（II）求二面角A-BC- D的大小；                                                        
（III）求O点到平面ACD的距离．                                                      

答案

，

解析

解法一：


证明：连结OC,

∴．   ----------------------------------------------------------------------------------1分
,，
∴ ．                ------------------------------------------------------2分
在中，     
∴即   -------------------------------------------------------------3分
      
∴平面．  ---------------------------------------------------------------------------4分
（II）过O作，连结AE，
,
∴AE在平面BCD上的射影为OE．
∴．
∴．  -----------------------------------------7分
在中，,,，    ------------------8分
∴．
∴二面角A-BC-D的大小为．   ---------------------------------------------------9分
（III）解：设点O到平面ACD的距离为
，
∴．
在中， ，
．
而，
∴．
∴点O到平面ACD的距离为．-----------------------------------------------------14分
解法二：
（I）同解法一．
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
则      -------------------------------------------5分
，
∴．  -------------------------------------------------6分
设平面ABC的法向量，
，，
由．----------------------------------------8分
设与夹角为，
则．
∴二面角A-BC-D的大小为．  -------------------------------------------------9分
（III）解：设平面ACD的法向量为，又， 
．   -----------------------------------11分
设与夹角为，
则    -----------------------------------------------------------------12分
设O 到平面ACD的距离为h，
∵，
∴O到平面ACD的距离为．  ---------------------------------- -----------------------14分