题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
如图3，在正三棱柱中，AB=4，,点D是BC的中点，
点E在AC上，且DEE。

（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。

答案

（Ⅰ）证明见解析。
（Ⅱ）

解析

（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.
又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,
所以DE⊥平面.又DE平面，
故平面⊥平面.
（Ⅱ）过点A作AF垂直于点,
连接DF.由（Ⅰ）知，平面⊥平面，
所以AF平面,故是直线AD和
平面所成的角。因为DE，
所以DEAC.而ABC是边长为4的正三角形，
于是AD=，AE=4-CE=4-=3.
又因为，所以E= = 4,
 , .
即直线AD和平面所成角的正弦值为。