题目

题型：内蒙古自治区期末题难度：来源：

如图，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，
∠ADC=60°，AF=．
（1）求证：AC⊥BF；
（2）求二面角F﹣BD﹣A的余弦值；
（3）求点A到平面FBD的距离．

答案

解：（1）在△ACD中，AC²=AD²+CD²﹣2ADCDcos60°=4+1﹣2×=3，
∴AC²+CD²=AD²，
∴CD⊥CA，
∵ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴CA⊥AB，
∵矩形ACEF中，CA⊥AF，
∴CA⊥平面ABF，
∵BF平面ABF，
∴AC⊥BF．
（2）∵平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
∴CE⊥平面ABCD，
以CD为x轴，CA为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，
得C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，，0），F（0，，），
B（﹣1，，0），
∴，，平面ABD的法向量，
设平面FBD的法向量，则，，
∴，
解得，
设二面角F﹣BD﹣A的平面角为θ，则cosθ=|cos＜＞|=||=．
故二面角F﹣BD﹣A的余弦值为．
（3）设点A到平面FBD的距离为d，
∵，平面FBD的法向量，
∴==．