题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分15分）如图，斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，A₁C₁⊥BC₁，AB⊥AC，AB=3，AC=2，侧棱与底面成60°角．
（1）求证：AC⊥面ABC₁；
（2）求证：C₁点在平面ABC上的射影H在直线AB上；
（3）求此三棱柱体积的最小值．

答案

（1）由棱柱性质，可知A₁C₁//AC，∵A₁C₁BC₁， 
∴ACBC₁，又∵ACAB，∴AC平面ABC₁
（2）由（1）知AC平面ABC₁，又AC平面ABC，∴平面ABC平面ABC₁，
在平面ABC₁内，过C₁作C₁HAB于H，则C₁H平面ABC，故点C₁在平面ABC上
的射影H在直线AB上.
（3）3.

解析

（1）由棱柱性质，可知A₁C₁//AC，∵A₁C₁BC₁， 
∴ACBC₁，又∵ACAB，∴AC平面ABC₁
（2）由（1）知AC平面ABC₁，又AC平面ABC，∴平面ABC平面ABC₁，
在平面ABC₁内，过C₁作C₁HAB于H，则C₁H平面ABC，故点C₁在平面ABC上
的射影H在直线AB上.
（3）连结HC，由（2）知C₁H平面ABC， ∴∠C₁CH就是侧棱CC₁与底面所成的角，
∴∠C₁CH=60°，C₁H=CH·tan60°=
V_棱柱=
∵CAAB，∴CH，所以棱柱体积最小值3.