题目
题型:不详难度:来源:
如图1,在平面内,ABCD是的菱形,ADD``A1和CD D`C1都是正方形.将两个正方形分别沿AD,CD折起,使D``与D`重合于点D1 .设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面,点E是直线l上的一个动点,且与点D1位于平面ABCD同侧(图2).
(Ⅰ) 设二面角E – AC – D1的大小为q,若£q£,求线段BE长的取值范围;
(Ⅱ)在线段上存在点,使平面平面,求与BE之间满足的关系式,并证明:当0 < BE < a时,恒有< 1.
答案
(方法1)设菱形的中心为O,以O为原点,对角线AC,BD所在直线分别为x,y轴,建立空间直角坐标系如图1.设BE =" t" (t > 0).
(Ⅰ)
设平面的法向量为,则
3分
设平面的法向量为,
则 4分
设二面角的大小为,则, 6分
∵cosqÎ, ∴ ,
解得£ t £. 所以BE的取值范围是 [,]. 8分
(Ⅱ) 设,则
由平面平面,得平面,
,化简得:(t ¹a),即所求关系式:(BE ¹a).
∴当0< t < a时,< 1. 即:当0 < BE < a时,恒有< 1. 14分
(方法2)
(Ⅰ)如图2,连接D1A,D1C,EA,EC,D1O,EO,
∵ D1A= D1C,所以,D1O⊥AC,同理,EO⊥AC,
∴是二面角的平面角.设其为q. 3分
连接D1E,在△OD1E中,设BE =" t" (t > 0)则有:
OD1 = ,OE = ,D1E = ,
∴ . 6分
∵cosqÎ, ∴ ,
解得£ t £. 所以BE的取值范围是 [,].
所以当条件满足时,£ BE £. 8分
(Ⅱ)当点E在平面A1D1C1上方时,连接A1C1,则A1C1∥AC,
连接EA1,EC1,设A1C1的中点为O1,则O1在平面BDD1内,过O1作O1P∥OE交D1E于点P,则平面平面.
作平面BDD1如图3.过D1作D1B1∥BD交于l点B1,设EO交D1B1于点Q.
因为O1P∥OE,所以==,
由Rt△EB1Q∽RtEBO,得,解得QB1 = ,得=, 12分
当点E在平面A1D1C1下方时,同理可得,上述结果仍然成立. 13分
∴有=(BE ¹a),∴当0 < t < a时,< 1. 14分
解析
核心考点
试题【(本题满分14分)如图1,在平面内,ABCD是的菱形,ADD``A1和CD D`C1都是正方形.将两个正方形分别沿AD,CD折起,使D``与D`重合于点D1 .】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)试判断直线与平面的位置关系,并说明理由;
(2)求二面角的余弦值;
(1)点P在直线上的概率;
(2)点P在圆外的概率.
(1)若是的中点,求证:;
(2)求出的长度,使得为直二面角.
在边长为5的菱形ABCD中,AC=8。现沿对角线BD把△ABD折起,折起后使∠ADC的余弦值为
(I)求证:平面ABD⊥平面CBD;
(II)若M是AB的中点,求折起后AC与平面MCD所成角的一个三角函数值.
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